НямНям
НямНям
Онлайн-инструментОнлайнБесплатно

Калькулятор неравенств

Бесплатный онлайн-калькулятор для решения линейных, квадратных и дробно-рациональных неравенств с пошаговым подробным решением и записью ответа в виде интервалов. Примеры расчета и формулы.

Обновлено: 13 мая 2026 г.
ФормулыБыстроПриватно

Калькулятор неравенств

Решайте линейные, квадратные и дробно-рациональные неравенства с подробным пошаговым решением и записью ответа в виде интервалов.

—
Решение неравенства
множество x

Как пользоваться калькулятором

1
Выберите тип неравенства: линейное (ax + b ▢ 0), квадратное (ax² + bx + c ▢ 0) или дробно-рациональное ((ax + b)/(cx + d) ▢ 0).
2
Введите коэффициенты в соответствующие поля. Для линейного — a и b, для квадратного — a, b, c, для дробного — a, b, c, d. Допускаются целые и десятичные числа, например: 1.5, -3, 0.25.
3
Выберите знак неравенства: > (строго больше), < (строго меньше), ≥ (больше или равно), ≤ (меньше или равно).
4
Нажмите «Рассчитать». Результат покажет множество решений в виде интервалов, а для квадратных неравенств — дополнительно дискриминант, корни и интервалы знакопостоянства.

Примеры расчёта

Пример 1: Линейное неравенство
Условие: 2x − 6 > 0
Коэффициенты: a = 2, b = −6, знак >
Решение: 2x > 6 → x > 3
Ответ: x ∈ (3; +∞)
Пример 2: Квадратное неравенство
Условие: x² − 5x + 6 ≥ 0
Коэффициенты: a = 1, b = −5, c = 6, знак ≥
Дискриминант: D = 25 − 24 = 1
Корни: x₁ = 2, x₂ = 3
Решение: x ∈ (−∞; 2] ∪ [3; +∞)
Пример 3: Дробно-рациональное неравенство
Условие: (x − 2)/(x + 3) < 0
Коэффициенты: a = 1, b = −2, c = 1, d = 3, знак <
Нули: числитель x = 2, знаменатель x = −3
Метод интервалов: знаки на промежутках: (+), (−), (+)
Ответ: x ∈ (−3; 2)

Формулы расчёта

Линейное неравенство: ax + b ▢ 0

Если a > 0: x ▢ −b/a
Если a < 0: знак неравенства меняется на противоположный
Если a = 0: решение зависит только от b

Квадратное неравенство: ax² + bx + c ▢ 0

D = b² − 4ac
x₁,₂ = (−b ± √D) / (2a) — корни при D ≥ 0
Если D < 0: знак выражения совпадает со знаком a на всей числовой прямой

Дробно-рациональное неравенство: (ax + b)/(cx + d) ▢ 0

Нуль числителя: x₁ = −b/a
Нуль знаменателя (точка разрыва): x₂ = −d/c
Метод интервалов: числовая прямая разбивается точками x₁ и x₂, определяется знак дроби на каждом промежутке

Пошаговое объяснение

Рассмотрим квадратное неравенство x² − 5x + 6 > 0.

Шаг 1. Находим дискриминант: D = (−5)² − 4·1·6 = 25 − 24 = 1. D > 0 — два различных корня.

Шаг 2. Находим корни: x₁ = (5 − √1)/2 = 2, x₂ = (5 + √1)/2 = 3. Это точки, где выражение равно нулю.

Шаг 3. Определяем знак на интервалах. Корни разбивают числовую прямую на три промежутка: (−∞; 2), (2; 3), (3; +∞). Подставляем тестовые точки: x = 0 → 6 > 0 (плюс); x = 2.5 → −0.25 < 0 (минус); x = 4 → 2 > 0 (плюс).

Шаг 4. Выбираем нужные интервалы. Знак > — нужны промежутки с плюсом. Ответ: x ∈ (−∞; 2) ∪ (3; +∞).

Если бы знак был ≥, мы бы включили в ответ и сами точки 2 и 3 (квадратные скобки).

Где применяется

  • Школьная математика: решение неравенств — обязательная часть ОГЭ и ЕГЭ, начиная с 8 класса.
  • Высшая математика: нахождение области определения функций, исследование знака производной.
  • Экономика и финансы: определение диапазонов прибыльности, анализ «затраты — выгода», расчёт пороговых значений.
  • Инженерные расчёты: проверка допустимых нагрузок, температурных диапазонов, запаса прочности.
  • Программирование: условные конструкции, валидация входных данных, ограничение диапазонов значений переменных.
  • Оптимизация: поиск допустимых областей в задачах линейного и нелинейного программирования.

Важные нюансы

  • При делении или умножении обеих частей неравенства на отрицательное число знак неравенства меняется на противоположный.
  • В дробно-рациональных неравенствах нельзя сокращать общие множители, не проверив их знак — это может привести к потере решений.
  • Точки, в которых знаменатель обращается в ноль, всегда исключаются из ответа (даже при нестрогом знаке ≥ или ≤).
  • При D < 0 квадратный трёхчлен не меняет знак на всей числовой прямой — он либо всегда положителен (при a > 0), либо всегда отрицателен (при a < 0).
  • Результат округляется до 4 знаков после запятой, если корни — иррациональные числа. При точном расчёте используйте аналитическое представление.

Частые ошибки

  • Забывают сменить знак при делении на отрицательный коэффициент. Пример: −2x > 4 → x < −2 (а не x > −2).
  • Путают строгие и нестрогие знаки: при ≥ и ≤ корни включаются в ответ (квадратные скобки), при > и < — исключаются (круглые скобки).
  • Не учитывают знаменатель: в дробном неравенстве точка разрыва (−d/c) не может входить в ответ ни при каком знаке.
  • Неправильно раскладывают на множители: ошибка в знаках при разложении квадратного трёхчлена ведёт к неверным интервалам.
  • Игнорируют случай a = 0 в линейном неравенстве: если a = 0, решение зависит от b и знака — это может быть либо пустое множество, либо вся числовая прямая.
  • Проверяют только один интервал — для надёжности нужно проверять знак на каждом промежутке, особенно когда корней больше двух.

Ответы на частые вопросы

В: Что делать, если дискриминант отрицательный?

О: Квадратный трёхчлен не имеет действительных корней. Его знак совпадает со знаком коэффициента a при любом x. Если a > 0 и неравенство со знаком > — решением будет вся числовая прямая. Если знак < — решений нет.

В: Можно ли вводить дробные коэффициенты?

О: Да, калькулятор принимает десятичные дроби (например, 0.5, −1.75). Вводите числа через точку.

В: Как записывается ответ для неравенства?

О: Ответ выводится в виде интервалов: круглые скобки — строгий знак, квадратные — нестрогий. Например: x ∈ (−∞; 2] ∪ (3; +∞). Символ ∪ означает объединение промежутков.

В: Почему в дробном неравенстве точка знаменателя всегда выколота?

О: Потому что деление на ноль не определено. Даже если неравенство нестрогое (≥ или ≤), значение x, при котором знаменатель равен нулю, не может быть решением.

В: Калькулятор показывает точное или приближённое решение?

О: Если корни — рациональные числа, они показываются точно. Если иррациональные (например, √2), результат округляется до 4 знаков после запятой. Для учебных целей рекомендуется сверяться с аналитическим решением.

В: Что означает «решений нет»?

О: Это означает, что неравенство не выполняется ни при каких действительных значениях x. Например: x² + 1 < 0 — квадрат числа всегда неотрицателен, сумма с 1 всегда положительна, поэтому решений нет.

Источники и справочные данные

Расчёт основан на стандартных математических формулах и методах из школьного курса алгебры (8–9 классы): свойства числовых неравенств, формула корней квадратного уравнения, метод интервалов для рациональных выражений. Все вычисления выполняются на стороне клиента с использованием стандартной арифметики JavaScript. Для учебных и справочных целей; при ответственных инженерных расчётах проверяйте результат вручную или в специализированном ПО.

Решение неравенств: полное руководство

Что такое неравенство и чем оно отличается от уравнения

Неравенство — это математическое утверждение, которое связывает два выражения одним из знаков: > (больше), < (меньше), ≥ (больше или равно), ≤ (меньше или равно). В отличие от уравнения, где ответом служат конкретные числа, решением неравенства обычно является целый диапазон значений — интервал или объединение интервалов.

Например, уравнение x + 2 = 5 имеет единственное решение x = 3. А неравенство x + 2 > 5 выполняется для всех x > 3 — это бесконечное множество чисел: 3.1, 4, 10, 100 и так далее. Именно эта особенность делает неравенства мощным инструментом для описания ограничений и диапазонов в реальных задачах.

Виды неравенств и их особенности

В школьном курсе и на практике чаще всего встречаются три типа неравенств, которые и решает наш калькулятор.

Линейные неравенства — самый простой тип, где переменная x входит только в первой степени: ax + b > 0. Решение сводится к переносу слагаемых и делению на коэффициент a. Главный нюанс: если a отрицательно, знак неравенства меняется. Пример: −3x + 9 ≤ 0 → −3x ≤ −9 → x ≥ 3.

Квадратные неравенства — содержат x²: ax² + bx + c ▢ 0. Решение зависит от знака дискриминанта D = b² − 4ac и знака коэффициента a. При D > 0 парабола пересекает ось x в двух точках — решение состоит из одного или двух интервалов. При D = 0 — одна точка касания. При D < 0 парабола не пересекает ось, и знак выражения постоянен.

Дробно-рациональные неравенства — содержат дробь с переменной в знаменателе или числителе: (ax + b)/(cx + d) ▢ 0. Здесь критически важно найти не только нули числителя, но и точки, где знаменатель обращается в ноль — эти точки всегда исключаются из ответа. Решение строится методом интервалов.

Метод интервалов — универсальный инструмент

Метод интервалов — это общий подход к решению неравенств любого типа, если выражение можно разложить на множители. Алгоритм прост и надёжен:

  • Шаг 1. Перенесите все члены в левую часть, чтобы справа остался ноль.
  • Шаг 2. Разложите левую часть на множители (если возможно) или найдите нули числителя и знаменателя.
  • Шаг 3. Отметьте все найденные точки на числовой прямой. Точки знаменателя — всегда выколотые (пустые кружки).
  • Шаг 4. Определите знак выражения на каждом получившемся интервале, подставив любое удобное число из интервала.
  • Шаг 5. Выберите интервалы, соответствующие знаку неравенства, и запишите ответ.

Например, для неравенства (x − 1)(x + 2)/(x − 3) > 0 точки: x = 1, x = −2 (нули числителя), x = 3 (нуль знаменателя, выколот). Числовая прямая разбивается на 4 интервала. Подстановка тестовых точек даёт знаки: (−), (+), (−), (+). Ответ: x ∈ (−2; 1) ∪ (3; +∞).

Как знак неравенства влияет на ответ

Выбор между строгим (>, <) и нестрогим (≥, ≤) знаком принципиально важен. При строгом знаке все граничные точки исключаются — в ответе используются круглые скобки. При нестрогом знаке нули числителя включаются в ответ (квадратные скобки), но нули знаменателя по-прежнему исключаются — делить на ноль нельзя ни при каких обстоятельствах.

Пример: для неравенства (x − 2)/(x + 1) ≥ 0 точка x = 2 включается в ответ, а x = −1 — нет. Ответ: x ∈ (−∞; −1) ∪ [2; +∞). Обратите внимание: у −1 круглая скобка, у 2 — квадратная.

Практические советы по решению неравенств

Всегда начинайте с приведения неравенства к стандартному виду, где справа ноль. Не сокращайте множители, содержащие переменную, без проверки — можно потерять корни или неправильно определить знак. Если коэффициент при старшей степени отрицательный, умножьте обе части на −1 и не забудьте сменить знак неравенства.

При решении квадратных неравенств полезно представить параболу: если a > 0, ветви направлены вверх, и выражение положительно вне интервала между корнями; если a < 0 — внутри интервала. Это интуитивное правило экономит время на проверку знаков.

Типичные учебные задачи и где пригодятся неравенства

Неравенства — не просто абстрактная тема из учебника. Они нужны для нахождения области определения функций с корнями и логарифмами, для анализа монотонности функций через производную, для решения текстовых задач на движение и работу, где есть ограничения «не менее» или «не более». В физике неравенства описывают границы применимости законов, в экономике — диапазоны безубыточности.

Наш калькулятор поможет быстро проверить решение, найти ошибку в знаках или интервалах и лучше понять структуру ответа. Используйте его как тренажёр: введите свои данные, сверьтесь с результатом и разберите пошаговое объяснение.

Спросить у ИИ

Задайте вопрос по этой странице

Осталось вопросов: 5. Только по этой странице.

Оцените страницу

Нужен другой инструмент?

Все инструменты в категории