Онлайн-инструментОнлайнБесплатно
Калькулятор производной функции
Бесплатный калькулятор производной функции. Вычислите значение производной в точке, получите формулу и пошаговое решение для степенных, тригонометрических, логарифмических функций и полиномов.
Обновлено: 14 мая 2026 г.
Научный подход
На проверенных формулах
Точно и быстро
Результат за секунды
Конфиденциально
Данные не покидают браузер
ФормулыБыстроПриватно
Калькулятор производной функции
Вычислите значение производной функции в заданной точке — быстро, точно и с подробной формулой.
—
Значение производной f'(x₀)
число
—
Формула производной f'(x)
общий вид
—
Значение функции f(x₀)
для справки
Как пользоваться калькулятором
1
Выберите тип функции из выпадающего списка — например, c · xⁿ для степенной функции или c · sin(a·x) для синуса.
2
Заполните параметры: коэффициент c, множитель a или показатель n. Для полинома укажите коэффициенты от a₀ до a₄. Пустые поля считаются нулями.
3
Введите точку x₀, в которой нужно найти значение производной. Например, x₀ = 2 для функции 3x² даст результат f'(2) = 12.
4
Нажмите «Рассчитать». Результат покажет значение производной в точке, общую формулу производной и значение исходной функции для справки.
Примеры расчёта
Пример 1: производная степенной функции
Функция: f(x) = 5x³. Параметры: c = 5, n = 3. Точка x₀ = 2. Производная: f'(x) = 15x². Значение: f'(2) = 60. Значение функции: f(2) = 40.
Пример 2: производная синуса
Функция: f(x) = 3·sin(2x). Параметры: c = 3, a = 2. Точка x₀ = π/4 ≈ 0.7854. Производная: f'(x) = 6·cos(2x). Значение: f'(0.7854) ≈ 0 (так как cos(π/2) = 0).
Пример 3: производная полинома
Функция: f(x) = 2x⁴ − 3x² + x − 7. Коэффициенты: a₄=2, a₃=0, a₂=−3, a₁=1, a₀=−7. Точка x₀ = 1. Производная: f'(x) = 8x³ − 6x + 1. Значение: f'(1) = 3.
Формулы расчёта
Калькулятор использует аналитические формулы производных элементарных функций. Ниже — основные правила и формулы.
f(x) = c · xⁿ → f'(x) = c · n · xⁿ⁻¹
f(x) = c · sin(a·x) → f'(x) = c · a · cos(a·x)
f(x) = c · cos(a·x) → f'(x) = −c · a · sin(a·x)
f(x) = c · tg(a·x) → f'(x) = c · a / cos²(a·x)
f(x) = c · ctg(a·x) → f'(x) = −c · a / sin²(a·x)
f(x) = c · ln(a·x) → f'(x) = c / x (при a·x > 0)
f(x) = c · e^(a·x) → f'(x) = c · a · e^(a·x)
f(x) = c · √(a·x) → f'(x) = c · a / (2·√(a·x))
f(x) = c · arcsin(a·x) → f'(x) = c · a / √(1 − (a·x)²)
f(x) = c · arccos(a·x) → f'(x) = −c · a / √(1 − (a·x)²)
f(x) = c · arctg(a·x) → f'(x) = c · a / (1 + (a·x)²)
f(x) = a₀ + a₁x + a₂x² + a₃x³ + a₄x⁴ → f'(x) = a₁ + 2a₂x + 3a₃x² + 4a₄x³
Где c — постоянный множитель, a — коэффициент при x в аргументе, n — показатель степени.
Пошаговое объяснение
Рассмотрим пример: f(x) = 4x³ − 2x + 1 в точке x₀ = 2.
1
Дифференцируем каждый член по отдельности. Производная 4x³: выносим 4, степень 3 переходит в множитель, степень понижается: 4·3·x² = 12x².
2
Производная −2x: −2·1·x⁰ = −2. Производная константы 1 равна 0.
3
Собираем: f'(x) = 12x² − 2.
4
Подставляем x₀ = 2: f'(2) = 12·4 − 2 = 48 − 2 = 46.
Калькулятор выполняет эти шаги автоматически, мгновенно выдавая результат и формулу производной.
Где применяется
Вычисление производных — фундаментальный инструмент в математике и её приложениях. Вот основные области:
- Школьный курс алгебры и начал анализа: решение задач на касательную, исследование функций на монотонность, экстремумы, построение графиков (например, x·(x−1)·(x−2) и подобные выражения).
- Подготовка к ЕГЭ и ОГЭ: задания на геометрический и физический смысл производной, вычисление скорости изменения функции.
- Физика: производная координаты по времени — это скорость; производная скорости — ускорение. Расчёт мгновенных величин.
- Экономика: предельные издержки, предельная выручка, эластичность спроса — всё это производные экономических функций.
- Инженерные расчёты: анализ напряжений, деформаций, теплопередачи, где нужно знать скорость изменения физических величин.
- Машинное обучение: градиентный спуск для оптимизации нейросетей — это многомерное обобщение производной.
Важные нюансы
- Для логарифмической функции ln(a·x) аргумент должен быть строго положительным: a·x > 0. При невыполнении калькулятор покажет ошибку.
- Для квадратного корня √(a·x) требуется a·x ≥ 0. При отрицательном подкоренном выражении производная не определена в действительных числах.
- Арксинус и арккосинус определены только при |a·x| ≤ 1. Выход за пределы [−1; 1] даст ошибку области определения.
- Для тангенса точки разрыва (где cos(a·x) = 0) исключаются — в них производная не существует.
- При n < 0 в степенной функции xⁿ точка x₀ = 0 недопустима (деление на ноль).
- Результат округляется до 6 значащих цифр после запятой для удобства чтения. При точных вычислениях сверяйтесь с аналитическим выводом.
Частые ошибки
- Забывают про множитель a в сложной функции: для sin(2x) производная равна 2·cos(2x), а не просто cos(2x). Калькулятор учитывает это автоматически — убедитесь, что вы правильно указали параметр a.
- Путают коэффициент c и множитель a: c — это множитель перед всей функцией, a — множитель внутри аргумента. Например, в 5·sin(3x): c=5, a=3.
- Игнорируют область определения: подстановка x₀ = 0 в ln(x) или x₀ = −1 в √(x) даёт ошибку. Калькулятор предупредит об этом.
- Оставляют пустыми все коэффициенты полинома: нулевой полином не имеет смысла дифференцировать — калькулятор сообщит, что функция не задана.
- Ошибка в знаке: производная cos(x) равна −sin(x), не забывайте про минус. Калькулятор корректно выводит знак в формуле.
- Использование градусов вместо радиан: тригонометрические функции в математическом анализе всегда работают с радианной мерой угла.
Ответы на частые вопросы
Можно ли ввести свою произвольную функцию, не из списка?
Калькулятор работает с предустановленными типами функций, которые покрывают большинство школьных и студенческих задач. Для произвольной аналитической функции вы можете разбить её на сумму или композицию табличных функций и вычислить производную по правилам.
Почему результат для ln(a·x) не зависит от a?
По свойству логарифма: ln(a·x) = ln(a) + ln(x). Константа ln(a) при дифференцировании даёт ноль, поэтому производная равна 1/x независимо от a (при условии a·x > 0).
Как калькулятор обрабатывает дробные степени?
Для xⁿ с дробным n (например, n = 0.5 для √x) формула n·xⁿ⁻¹ работает точно так же. Проверяется только область определения: при дробном n основание x должно быть неотрицательным.
Можно ли вычислить производную в точке разрыва?
Нет. Если точка x₀ попадает в область, где функция или её производная не определены (например, tg(π/2)), калькулятор выдаст сообщение об ошибке.
Зачем в результате показано значение самой функции f(x₀)?
Это полезно для проверки: значение функции и её производной часто используются вместе — например, при составлении уравнения касательной: y = f(x₀) + f'(x₀)·(x − x₀).
Насколько точен калькулятор?
Вычисления выполняются аналитически по точным формулам производных. Численная погрешность возникает только при операциях с плавающей запятой в JavaScript и не превышает 10⁻¹⁰ для типичных значений. Результат округляется до 6 десятичных знаков.
Источники и справочные данные
Расчёт основан на стандартных формулах дифференциального исчисления из школьного курса алгебры и начал математического анализа (10–11 классы), а также курса высшей математики для технических специальностей. Все формулы соответствуют общепринятой математической нотации. Для учебных и справочных целей; при ответственных инженерных расчётах проверяйте результат вручную или в специализированном ПО.
Производная функции: полное руководство для практического применения
Что такое производная простыми словами
Производная функции в точке — это скорость изменения функции в этой точке. Геометрически она равна угловому коэффициенту (тангенсу угла наклона) касательной прямой к графику функции. Если функция описывает положение тела, то производная — это мгновенная скорость; если функция описывает скорость, то производная — ускорение.
Математически производная определяется как предел отношения приращения функции к приращению аргумента, когда приращение аргумента стремится к нулю. На практике мы пользуемся готовыми формулами — таблицей производных, которую вывели математики за несколько столетий.
Таблица производных элементарных функций
Таблицу производных полезно держать под рукой. Вот основные функции и их производные, которые охватывают 90% практических задач — от школьных примеров вида x·(x−1) до сложных инженерных расчётов.
xⁿ → n·xⁿ⁻¹
sin x → cos x
cos x → −sin x
tg x → 1 / cos² x
ctg x → −1 / sin² x
ln x → 1 / x
eˣ → eˣ
√x → 1 / (2√x)
arcsin x → 1 / √(1−x²)
arccos x → −1 / √(1−x²)
arctg x → 1 / (1+x²)
Эти формулы — основа. Калькулятор на этой странице использует именно их, автоматически подставляя ваши значения коэффициентов и точки x₀.
Правила дифференцирования: как работать со сложными выражениями
На практике редко встречаются чистые табличные функции. Обычно это комбинации: сумма нескольких функций, произведение, частное или сложная функция (функция от функции). Для них есть правила:
- Производная суммы: (f + g)' = f' + g'. Производная суммы равна сумме производных. Например, для x² + 3x производная равна 2x + 3.
- Постоянный множитель: (c·f)' = c·f'. Константа выносится за знак производной.
- Производная произведения: (f·g)' = f'·g + f·g'. Например, для x·sin x получим 1·sin x + x·cos x.
- Производная частного: (f/g)' = (f'·g − f·g') / g². Полезно для дробно-рациональных функций.
- Производная сложной функции: если y = f(g(x)), то y' = f'(g(x)) · g'(x). Это правило цепочки — именно оно даёт множитель a в формулах вида sin(a·x) → a·cos(a·x).
Наш калькулятор уже «знает» правило цепочки для всех поддерживаемых функций. Когда вы выбираете sin(a·x) и указываете a = 3, калькулятор автоматически умножает производную на 3.
Примеры из практики: от простого к сложному
Рассмотрим несколько примеров с конкретными числами. Пусть нужно найти производную функции f(x) = x·(x−1)·(x−2). Это кубический полином: раскроем скобки: x·(x² − 3x + 2) = x³ − 3x² + 2x. Производная: 3x² − 6x + 2. В точке x = 1 значение f'(1) = 3 − 6 + 2 = −1. Калькулятор полинома на этой странице мгновенно выдаст тот же результат — просто введите коэффициенты a₃=1, a₂=−3, a₁=2, a₀=0.
Другой пример: f(x) = 2·sin(5x) + 3·cos(2x). Производная: 2·5·cos(5x) + 3·(−2)·sin(2x) = 10·cos(5x) − 6·sin(2x). В точке x = π/4 получим: 10·cos(5π/4) − 6·sin(π/2) = 10·(−√2/2) − 6·1 ≈ −7.071 − 6 = −13.071. Такие задачи регулярно встречаются на экзаменах и в инженерной практике.
Выражения вида 2x² + 3x + 1 — это полином второй степени. Его производная: 4x + 3. В точке x = 2 значение f'(2) = 11. А для x·(x−7) = x² − 7x производная: 2x − 7. При x = 7 получаем f'(7) = 7 — обратите внимание, что в точке x = 7 функция равна нулю, а производная нет.
Геометрический смысл: касательная к графику
Одно из главных применений производной — построение касательной. Уравнение касательной к графику функции f(x) в точке x₀: y = f(x₀) + f'(x₀)·(x − x₀). Зная значение функции и её производной в точке, вы можете мгновенно записать уравнение прямой, которая наилучшим образом приближает график в окрестности этой точки.
Например, для f(x) = x² в точке x₀ = 3: f(3) = 9, f'(3) = 6. Уравнение касательной: y = 9 + 6·(x − 3) = 6x − 9. Это прямая, которая касается параболы ровно в одной точке.
Физический смысл: скорость и ускорение
Если материальная точка движется по закону s(t) = 4t³ − 2t² + t (метры), то мгновенная скорость v(t) = s'(t) = 12t² − 4t + 1 (м/с), а ускорение a(t) = v'(t) = 24t − 4 (м/с²). В момент t = 2 с: скорость v(2) = 12·4 − 4·2 + 1 = 48 − 8 + 1 = 41 м/с, ускорение a(2) = 48 − 4 = 44 м/с².
Этот принцип универсален: производная по времени даёт скорость изменения любой величины — температуры, давления, заряда, популяции.
Исследование функций на экстремумы
Производная помогает находить максимумы и минимумы функций. В точках экстремума производная равна нулю (касательная горизонтальна). Например, для f(x) = x³ − 3x производная f'(x) = 3x² − 3. Приравниваем к нулю: 3x² = 3 → x = ±1. Проверяем знак производной слева и справа: при x = −1 — максимум (f(−1) = 2), при x = 1 — минимум (f(1) = −2). Такие задачи — стандарт для ЕГЭ и вступительных экзаменов.
Производные высших порядков
Производную можно брать повторно: вторая производная f''(x) — это производная от производной. Она показывает скорость изменения скорости, то есть ускорение в физическом контексте, или выпуклость/вогнутость графика в математическом. Третья производная используется в задачах на рывок (изменение ускорения), четвёртая и выше — в рядах Тейлора и продвинутом анализе.
Для полинома f(x) = x⁴ − 2x³ + x − 7 первые четыре производные: f'(x) = 4x³ − 6x² + 1, f''(x) = 12x² − 12x, f'''(x) = 24x − 12, f''''(x) = 24. Пятая и все последующие равны нулю — это свойство полиномов: на каждом шаге степень понижается.
Практические советы по вычислению производных
- Всегда проверяйте, можно ли упростить функцию до дифференцирования. Например, x·(x−1) лучше раскрыть в x² − x, чем дифференцировать как произведение.
- Дробно-рациональные выражения приводите к сумме простейших дробей, если возможно.
- Помните про область определения: производная может существовать не во всех точках, где определена сама функция (например, |x| в нуле).
- Используйте калькулятор для быстрой проверки ручных вычислений — это экономит время и помогает избежать арифметических ошибок.
- При работе с тригонометрическими функциями всегда переводите углы в радианы. Градусы в анализе не используются.
Заключение
Производная — один из самых мощных инструментов математического анализа. Она связывает геометрию, физику, экономику и информатику. Освоив таблицу производных и правила дифференцирования, вы получаете универсальный метод анализа любых количественных закономерностей. А наш калькулятор производной функции поможет быстро проверить результат, увидеть формулу и избежать ошибок в рутинных вычислениях.